Máximo Común Divisor o MCD

Máximo común divisor

¿Quieres conocer más del Máximo Común Divisor? En navidad Angie compró 52 caramelos y Rafael 36, ellos necesitan distribuir en una bolsita, las mismas cantidades de caramelos con la mayor cantidad posible, ¿Cuántos caramelos deben existir por cada bolsita?

 

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el común más grande de todos los divisores que tienen dichos números. El Máximo Común Divisor de dos números se escribe: M.C.D (a,b). Cuando es de tres números es M.C.D (a,b,c) y así sucesivamente.

Obtener el Máximo Común Divisor por medio de una tabla de divisores

Para obtener el Máximo Común Divisor debes manejar claramente los criterios de divisibilidad principalmente del 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11.

Pasos para obtener el M.C.D.

Para obtener el Máximo Común Divisor por medio de una tabla de divisores, debes:

  1. Crear una tabla de divisores.
  2. Aplicar los criterios de divisibilidad, comenzando por el número dado hasta el número 1.
  3. Dividir el número dado entre cada número divisible por el, y así obtener sus divisores.

Ejemplo: Determina el Máximo Común Divisor de los números 12 y 18 por medio de una tabla de divisores.

Números dadosAplicación de los criterios de divisibilidad DivisoresM.C.D.
1212, 6, 4, 3, 2, 11, 2, 3, 4, 6 y 12 6
1818, 6, 3, 2, 11, 3, 6, 9 y 186

Los comunes  de ambos números son los que están en negrita

  • El Máximo Común Divisor de los números 12 y 18 es:  M.C.D. (12,18) = 6

Obtener el Máximo Común Divisor por descomposición en sus factores primos

Para determinar el Máximo Común Divisor por medio de la descomposición en sus factores primos debes  aplicar los siguientes pasos:

  1. Descomponer el número dividiéndolos entre los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
  2. Igualar el número en su factores primos.
  3. Seleccionar el común con el menor exponente, si no existe comúnes se selecciona el 1, ya que el 1 es divisible entre todos los números.
  4. Multiplicar los comúnes para obtener el M.C.D.

Ejemplo: Determina el Máximo Común Divisor de los números 12 y 18 por medio de la descomposición en sus factores primos.

Pasos
Descomponer el 12
Descomponer el 18
Factores primos del 12
Factores primos del 18
Común con el menor exponente2 y 3
M.C.D.(12,18)=6

Explicación del Máximo Común Divisor por video YouTube

M.C.D. de dos números

M.C.D. más de dos números. Parte II

M.C.D. más de dos números. Parte I

Calculadora de Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Ingresa los números en la columna para determinar automáticamente el Máximo Común Divisor.

Aplicaciones del Máximo Común Divisor

Cuando se presenten problemas que se requiera dividir, repartir o distribuir en grupos iguales debes aplicar el M.C.D.

Ejemplo

Cinta
Tres pedazos

¿Cuál será la mínima longitud de una cinta la cual fue dividida en tres 3 pedazos de 5 cm, 13 cm y 15 cm de largo sin que sobre ni falte? y ¿Cuántos pedazos finalmente se obtienen?

 

Para conocer la mínima longitud que no sobre ni falte de esos tres pedazos es necesario aplicar el Máximo Común Divisor.

Pasos
Descomponer 5
Descomponer 13
Descomponer 15
Factores primo del 55 = 5
Factores primo del 1313 = 13
Factores primo del 1515 = 3 . 5
Común con el menor exponenteNo existe
M.C.D.(5,13,15)=1

Entonces la mínima longitud para que no sobre ni falte de esos 3 pedazos es de 1 cm, esto quiere decir que a la final existirán 33 pedazos exactos.


Actividades

Determine el Máximo Común Divisor aplicando la tabla de divisores.

  • 17, 20 y 16.
  • 23, 12, y 22.
  • 10, 8, 4 y 6.
  • 3, 26

Determine el Máximo Común Divisor aplicando la descomposición en sus factores primos.

  • 12 y 28.
  • 6, 8, 10, 12 y 24.
  • 26, 29 y 31.
  • 4, 12, 38 y 32.

Problemas

Manuel posee una caja que tiene de largo 50 cm,  16 de ancho y 10 de alto y va a depositar unos cubos en ella, pero de ¿Qué longitud es el cubo que debe guardar? y ¿Cuántos?

La profesora Militza está organizando un viaje a la isla de San Andrés para llevarse a los estudiantes más destacados en la materia de matemáticas. Los más destacados es 5° y 6° grado. Por 5° grado son 12 estudiantes y por el grado 6° son 20. Ella desea armar grupos y que en cada grupo quede la mayor cantidad de estudiantes posibles. ¿Cuántos estudiantes debe tener cada grupo? y ¿Cuántos grupos se obtienen?

En navidad Javier compró 52 caramelos y Rafael 36, necesitan distribuir en una bolsita las mismas cantidades de caramelos con la mayor cantidad posible, ¿Cuántos caramelos deben existir por cada bolsita?

Felipe y Xavier tienen dos rollos de mecates, uno de 220 metros y el otro de 180 metros de longitud en su yate, ambos necesitan cortarlo pero queden en longitudes iguales ¿Cuántos pedazos pueden obtener?

 

Ángulos

Ángulos

¿Sabías que los ángulos se encuentran a nuestro alrededor? Donde te encuentres en este momento existen figuras que están compuestas por ángulos. En nuestra vida cotidiana los ángulos siempre están presentes. Por ejemplo, cuando abres tú portátil o laptop se forma un ángulo específico, o cuando subes o bajas una escaleras, cuando vas al parque y te montas en la montaña rusa y ella sube o baja, cuando inclinas el vaso de agua para beber, o simplemente cuando mueves tú cabeza hacia arriba para ver un avión.

Todos estos ejemplos y muchísimos otros, te permiten ver los ángulos en la vida cotidiana. Entonces, seguro que te sientes identificado con algunas de las situaciones antes mencionadas, esto quiere decir que sí conoces lo que es un ángulo.

montaña rusa
Montaña rusa

Ángulos

Cuando dibujas dos líneas unidas inmediatamente se forma un ángulo, un ángulo es una amplitud formado al unir dos lados en sus extremos, la unión es un punto llamado vértice.

Ángulo
Fíjate en la figura, la escalera posee un ángulo, formado por el piso que es el lado azul # 2 y la inclinación de la escalera que es el lado rojo # 1Partes de un ángulo
subir escalera

Tipos de ángulos según su amplitud

Según la amplitud el ángulo pueden ser:

Llano: Es un ángulo donde su amplitud es = 180°

Ángulo convexo: Es un ángulo de amplitud > 0° y < 180° y se clasifican en tres tipos ellos son:

  • Ángulo agudo: Es un ángulo > 0° y < 90°
  • Ángulo recto: Es un ángulo = 90°
  • Ángulo obtuso: Es un ángulo > 90° y < 180°

Ángulo Cóncavo: Es un ángulo de amplitud > 180° y < 360°.

Ángulo completo: Es llamado completo porque forma un ángulo de 360°

Observa los distintos tipos de ángulos según su amplitud en el siguiente video:

Medición de ángulos

Para medir la amplitud o construir ángulos se utiliza un instrumento llamado: Transportador

Existen transportadores de 180° y de 360°

Transportador 180°Transportador 360°

Partes del transportador

Partes del transportador

Escala: Son las cantidades de rayitas que posee el instrumento. Cada rayita vale 1°

Línea cero: Es la línea que coincide con 0° y 180°

Punto medio del transportador: En algunos transportadores es un orificio ubicado en centro del transportador y en otros es sólo una marca.

¿Cómo medir ángulos con el transportador?

Para medir ángulos debes tomar en cuenta los siguientes pasos:

  1. Identificar el tipo de ángulo
  2. Alinear la Línea cero del transportador con un lado del ángulo.
  3. Ubicar el Punto medio del transportador en el vértice del ángulo.
  4. Leer la medida del ángulo ubicado en el otro lado del ángulo.

Ejemplo # 1

Mida el ángulo de la siguiente figura

Procedimiento para medir ángulo
1.

Identificar el tipo de ángulo

Es un ángulo agudo

2.

Se alinea la Línea cero del transportador con el  lado azul del ángulo

Se ubica el Punto medio del transportador en el vértice del ángulo

La medida del ángulo es de 70°

Ejemplo # 2

Mida el ángulo de la siguiente figura

Procedimiento para medir ángulo
1.

Identificar el tipo de ángulo

Es un ángulo obtuso

2.

Toma el transportador y

Se alinea la Línea cero del transportador con el  lado azul del ángulo

Se ubica el Punto medio del transportador en el vértice del ángulo

La medida del ángulo es de 160°

Ejemplo # 3

Mida el ángulo de la siguiente figura con un transportador de 180°

Procedimiento para medir ángulo
1.

Identificar el tipo de ángulo

Es un ángulo cóncavo

2.

Toma el transportador y

Como el transportador es de 180° se gira el transportador y se alinea la Línea cero del instrumento con el  lado azul del ángulo

Se ubica el Punto medio del transportador en el vértice del ángulo

Como el ángulo > 180° y el transportador es 180°

La medida de ese ángulo sumar 180° + la amplitud del ángulo, observa:

La medida del ángulo = 180° + 120° = 300°

Ejemplo # 4

Mida el ángulo de la siguiente figura con un transportador de 360°

Procedimiento para medir ángulo
1.

Identificar el tipo de ángulo

Es un ángulo cóncavo

2.

Toma el transportador de 360°

Alinea la Línea cero del instrumento con el  lado azul del ángulo

Se ubica el Punto medio del transportador en el vértice del ángulo

La medida del ángulo = 350°

¿Cómo crear ángulos con el transportador?

Para crear ángulos debes tener a la mano el transportador y seguir los siguientes pasos:

  1. Trazar una línea, esta línea viene a formar parte de un lado del ángulo
  2. Marcar un punto en un extremo de la línea
  3. Ubicar el Punto medio del transportador en el punto marcado
  4. Alinear la Línea cero del transportador con el lado del ángulo
  5. Ubicar en la Escala del transportador el ángulo y marcar con un puto
  6. Apartar el transportador y marcar una línea donde estaba ubicado el Punto medio del transportador hasta donde se marcó el punto.

Ejemplo

Construya el ángulo de 45°

Procedimiento para medir ángulo
1.Trace una línea
2.Marcar un punto en un extremo de la línea
3.

Ubicar el Punto medio del transportador en el punto marcado

Alinear la Línea cero del transportador con el lado del ángulo

4.Ubicar en la escala el ángulo de 45° y marcar un punto
5.

Marcar una línea desde el primer punto marcado al segundo punto marcado

 

Ángulos de un polígono

Concepto

Los polígonos son figuras geométricas formados desde tres segmentos en adelante, estos segmentos son llamados lados y en la unión entre lado y lado se forma un punto llamado vértice.

Clasificación

Los polígonos se clasifican según sus lados, a continuación una tabla con algunos polígonos:

Cantidad de ladosNombre del polígonoFigura
3Triángulo
4Cuadriláteros
5Pentágono
6Hexágono

Ángulos

Los ángulos internos pueden ser calculados dependiendo del tipo del polígono

Cálculo de los ángulos internos de un triángulo

Todo triángulo posee 3 ángulos y al sumar los tres ángulos siempre debe dar 180° grados

Cálculo de los ángulos internos de un cuadrilátero

Todo cuadrilátero posee 4 ángulos y al sumar los cuatro ángulos da como resultado 360°

Ejemplo # 1

Determine el ángulo del siguiente polígono

1.

Como es un triángulo se sabe que al sumar sus 3 ángulos debe dar 180°

Pero se tienen 2 ángulos

Entonces se suman los dos ángulos

80° + 30° = 130°

 

2.Para determinar el ángulo faltante

Resta 180° – la suma de los ángulos

180° – 130° = 50°

3.El valor del ángulo es de 50°

Ejemplo # 2

Determine el ángulo obtuso del siguiente polígono

 

1.

Como es un cuadrilátero se sabe que al sumar sus 4 ángulos debe dar 360°

Pero se tienen 3 ángulos

Entonces se suman los tres ángulos

60° + 90° + 90° = 240°

 

2.Para determinar el ángulo faltante

Resta 360° –  la suma de los ángulos

360° – 240° = 120°

3.Entonces el valor del ángulo obtuso es de 120°

Ejercicios de ángulos

1.Escribe la letra donde corresponde

Ángulo recto:_________________

Ángulo obtuso:________________

Ángulo agudo:________________

2.Descarga el archivo, luego observa los ángulos, el lado en forma punteada es el giro del lado azul debes medir cada ángulo y escribir el tipo de ángulo.

Descargue: Medición de ángulos

3.Construya en papel milimetrado los siguientes ángulos

a.44°b.65°
c.105°d.178°
d.195°e.210°
f.225°g.334°
h.160°j.360°
k-340°l.250°

 

Números naturales (N)

Números naturales

En nuestra vida diaria a veces sin darnos cuenta usamos con mucha frecuencia a los números naturales, pero sabes en realidad ¿Para qué se utilizan? Bueno, ante todo los números naturales conforman un conjunto el cual se simboliza con la letra N y este conjunto de números sirven para contar, ordenar, nombrar y también para medir.

Números naturales

Números naturales (N)

El conjunto de los números naturales (N) comienza con el cero (0) y se cuentan de uno en uno, los primeros de ellos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Números naturales

Cada número se pueden escribir de dos formas:

  1. En cifras y
  2. En letras
Cifras Letras
465 Cuatrocientos sesenta y cinco
1.569.005 Un millón quinientos sesenta y nueve mil cinco
10.050 Diez mil cincuenta

 

 

 

Números pares

Los números pares son aquellos que terminan en 0, 2, 4, 6,  y  8.

Números impares

Los números impares son aquellos que terminan en 1, 3, 5, 7,  y  9.

Por ejemplo observa la siguiente tabla donde se muestran números pares e impares

Pares Impares
230 891
2.005.090 907
456.896 6.789.345

 

 

 

Elementos de la adición

Los elementos de la adición son los sumandos y la suma

  • Los sumandos son los números que vas a sumar y
  • la suma es el resultado

Propiedades de la adición de números naturales

Las propiedades de la adición son 3 ellas son llamadas:

1. Propiedad conmutativa de la adición

La propiedad conmutativa dice: “El orden de los sumandos no altera la suma”, esto quiere decir que los sumandos se pueden colocar en cualquier posición y la suma siempre es la misma.

Ejemplo # 1

sume 36 y 15 y aplique la propiedad conmutativa

Pasos Operación
1. El sumando 36 se ubica de primero y el sumando 15 de segundo 36 + 15
2. Suma 51
3. El sumando 15 se ubica de primero y el sumando 36 de segundo 15 + 36
4. Suma 51
Observa que los sumandos estando en cualquier posición la suma a la final siempre dará igual, esto es lo que se conoce como la propiedad conmutativa

También puede escribirse y sumarse así:

Pasos Operación
1. El sumando 36 se ubica de primero más el sumando 15 de segundo igual sumando 15 de primero más sumando 36 de segundo 36 + 15 = 15 + 36
2. Suma los sumando del lado izquierdo igual a la suma de los sumandos del lado derecho 51 = 51
La suma del lado izquierdo es igual a la suma del lado derecho, esto es lo que se conoce como la propiedad conmutativa

Ejemplo # 2

Sume 6 más 8 pingüinos y aplique la propiedad conmutativa

Números naturales

2. Propiedad asociativa de adición

La propiedad asociativa establece que: “Se pueden asociar los sumandos de distintas formas y a la final se obtiene la misma suma”.

Ejemplo # 1

En la imagen se muestra una calle con una cantidad de vehículos, a estos vehículos se le aplicará la propiedad asociativa de la adición, observa que existen 3 grupos, el primer grupo es de 4 vehículos, el segundo grupo de 2 vehículos y el tercer grupo de 3 vehículos
1. Números naturales
2.

Se asocia el grupo de 4 vehículos con el grupo de 2 vehículos más el otro grupo de 3 vehículos

( 4 + 2 ) + 3
3.

Al grupo de 4 vehículos se le suma la asociación del grupo de 2 vehículos con el grupo de 3

4 + ( 2 + 3 )
4.

Finalmente se igualan ambas expresiones y se opera la suma del lado izquierdo de la igualdad y la suma del lado derecho

( 4 + 2 ) + 3 = 4 + ( 2 + 3 )

6 + 3 = 4 + 5

9 = 9

Observa que ambas asociaciones sus sumas siempre deben ser iguales, esto es lo que se conoce como la propiedad asociativa

Ejemplo # 2

Aplique la propiedad asociativa de los siguientes números 105, 456 y 245

Pasos Operación
1. Se asocian y se igualan ( 105 + 456 ) + 245 = 105 + ( 456 + 245 )

561 + 245 = 105 + 701

806 = 806

3. Propiedad modulativa o elemento neutro de la adición

La propiedad modulativa dice que: “Al sumar cualquier número con el cero la suma es el mismo número». El elemento neutro de la adición es el cero.

Ejemplo

105 + 0 = 105

5.678 + 0 = 5678

1.009 + 0 = 1.009

0 + 432 = 432

La propiedad de estas sumas es llamada propiedad modulativa

Elementos de una multiplicación

Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto

Números naturales

  • Los factores son los números que se multiplican y
  • El producto es el resultado

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Las propiedades de la multiplicación son 4, ellas son:

1. Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación dice: “El orden de los factores no altera el producto»

Esto quiere decir que los factores los puedo colocar con distintas posiciones y a la final el producto es el mismo.

Ejemplo

Observa la imagen, existe 3 grupos de 4 pelotas, determina el total aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación

Números naturales

 

 

 

La propiedad conmutativa establece que el orden de los factores no altera el producto

Existen 3 grupos y 4 pelotas

Los factores son: 3 y 4

Entonces queda así:

( 3 × 4 ) = ( 4 × 3 )

12 = 12

El producto es: 12

2. Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa consiste en asociar dos veces factores distintos resultando los mismos productos

Ejemplo:

Multiplique 5, 8 y 9 aplicando la propiedad asociativa

Pasos Operación
1. Primera asociación

Se asocia los dos primeros factores multiplicado por el otro factor

( 5 × 8 ) × 9
2. Segunda asociación

Se escribe sólo el primer factor que anteriormente esta asociado multiplicado por la asociación de los otros dos factores

5 × ( 8 × 9 )
3.

Se asocian ambas expresiones

( 5 × 8 ) × 9 = 5 × ( 8 × 9 )
4.

Se resuelve y ambos productos deben ser iguales

40 × 9 = 5 × 72

360 = 360

Observa que ambas asociaciones sus productos siempre deben ser iguales.

3. Propiedad modulativa o del elemento neutro de la multiplicación

Esta propiedad consiste en que cualquier número se multiplica únicamente por el número 1 y el producto siempre es ese mismo número. El elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo:

105 × 1 = 105

5.678 × 1 = 5678

1.009 × 1 = 1.009

1 × 432 = 432

4. Propiedad distributiva de la multiplicación

La propiedad distributiva consiste en distribuir por medio de la multiplicación un factor por cada sumando. La propiedad se aplica cuando existe una multiplicación por una suma.

Ejemplo:

Determine 10 × ( 5 + 2 )=

Observe el procedimiento, se distribuye el factor 10 multiplicándose por cada sumando, primero el factor 10 multiplica con el sumando 5, se escribe el signo más, luego el factor 10 multiplica con el otro sumando 2, se suman los productos obteniéndose la suma de 70.

Números naturales

Ejercicios de Números naturales (N)

I. Efectúa y complete la frase

4.567 + 2.345 = 2.345 + 4.567

Se aplica la propiedad:   ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

 

( 5.678 +6785 ) + 123 = 5.678 + ( 6785 + 123 )

Se aplica la propiedad:   ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

 

El elemento neutro de la adición es el   ___ ___ ___ ___

 

II. Aplica la propiedad conmutativa de la adición y de la multiplicación

a. 6.547 + 3.241 =

b. 3.456 × 45 =

c. 90 × 145 =

d. 984 + 4.567 =

III. Aplica la propiedad asociativa de la adición y de la multiplicación

a. 4.567 + 3.421 + 895 =

b. 675 × 234 × 120 =

c. 100 × 2 × 854 =

d. 3.456 + 1234 + 10.345 =

IV. Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación

a. ( 3.123 + 234 ) × 4 =

b. 10 × ( 234 + 546 ) =

c. 34 × ( 2 +432 ) =

d. 100 × ( 345 + 256 ) =

V. Efectúa las operaciones de números naturales. Indica el nombre de la propiedad que se utiliza en cada caso y encuentre el valor escondido utilizando la letra asociada al resultado

Letra Operación Resultado Propiedad
I ( 23 + 345 ) × 10 =
F ( 103 + 345 ) + 231 = 103 + ( 345 +231 )
N 56473 × 1 =
E ( 103 × 12 ) × 4 = 103 × (12 × 4)

Escriba la letra correspondiente en cada círculo

Números naturales

Criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

Criterios de divisibilidad y descomposición en sus factores

Caramelos¿Cómo aplicas los criterios de divisibilidad en la vida diaria? Si aún no los sabes te invito a leer este artículo, te aclarará muchas dudas.  ¿A ti no te ha pasado alguna vez que necesitas dividir o partir algo en partes iguales y luego repartirlo para que todos queden contentos?.

Aquí verás un ejemplo, imagínate que compraste una bolsa de 27 caramelos y piensas en ese momento compartirla con tu mamá y tu papá en casa para ver una película, pero te surge la siguiente pregunta ¿Esta cantidad de caramelos dividida entre los 3 dará en cantidad exacta para cada uno? Entonces para resolver esta situación necesariamente debes tener conocimientos de los criterios de divisibilidad.

Criterios de divisibilidad 

Son métodos que nos ayudan a calcular un resultado numérico exacto es decir que los resultados sean siempre números enteros y nunca sean números decimales. Cuando se dice divisibilidad debes relacionarlo con la operación básica de la división el cual consiste simplemente en una división exacta.

Hay muchos criterios de divisibilidad, los que se mencionarán en este post son 7, ellos son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 11

Del número 2

Criterios de divisibilidad

tabla 2
Figura # 1

Los números que son divisible entre 2 son aquellas cifras que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 es decir los números pares.

En la figura # 1 te muestro algunos múltiplos del número 2. ¿Observaste que los múltiplos de 2 siempre terminan en 0, 2, 4, 6 y 8?

Figura # 2

Ejemplo # 1: Diga si los números de la figura # 2 (conjunto B) son divisibles entre 2.

Respuesta: Sí, todos son divisibles entre 2 porque terminan en 0,2,4,6 y 8 es decir todos son números pares.

Figura # 3

Ejemplo # 2: Diga si los números de la figura # 3 (conjunto A) son divisibles entre 2.

Respuesta:

El único número que es divisible entre 2 es el 540 ya que es un número par.

Los demás números no son divisibles entre 2 por que son números impares.

Del número 3

tabla 3
Figura # 4

Los números divisibles entre 3, son aquellos que son múltiplos de 3. Observa la figura # 4 allí conocerás algunos de ellos.
Entonces, ya sabes que el número 21 es divisible entre 3 porque lo viste en la imagen, pero que pasa si tienes un número muy grande que no esté en la lista ¿Qué puedes hacer?.
Primero. Sumar los dígitos de la cantidad. Segundo. Si la suma es múltiplo de 3, entonces ese número es divisible entre 3.

Ejemplo # 1: Determine si el número 1050 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad →  1 + 0 + 5 + 0 = 6

Segundo. Como la suma de los dígitos es 6 y 6 es multiplo de 3. Se concluye que el número 1050 es divisible entre 3.

Ejemplo # 2: Determine si el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Primero. Sumar cada dígito de la cantidad → 2 + 9 + 7 + 1 + 2 + 5 + 0 +8 + 2 = 36

Segundo. Como la suma de los dígitos es 36 y 36 es multiplo de 3. Se concluye que el número 297.125.082 es divisible entre 3.

Del número 4

4

tabla 4
Figura # 5

Los números que son divisibles entre 4 son aquellos números que son múltiplos de 4, mira la figura # 5 allí verás algunos múltiplos.
Para saber si un número es divisible entre 4 debes siempre trabajar con los dos últimos dígitos de la cifra. El procedimiento es el siguiente:

  1. Si los dos últimos dígitos de la cifra termina con doble ceros (00) estos números son divisible entre 4. Ejemplo:
    500
    1.800
    43.600
    5.674.600
  2. Si los dos últimos dígitos de la cifra son distintos a ceros, entonces esos dos últimos dígitos se dividen entre 4, si la división es exacta el número es divisible entre 4, ejemplo: determine si 60 y 3468 son divisibles entre 4.

El número 60 es divisible entre 4.divisible por 4 (1)

Ya que la división es exacta.

divisible por 4 (3)El número 3468 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos, la divión es exacta.

Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 4.
800

3.192
45.670

Solución:

800El número 800 es divisible entre 4.

Porque los dos últimos dígitos son doble ceros.

divisible por 4(5)El número 3.192 es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es exacta.

divisible por 4(6)El número 45.670 no es divisible entre 4.

Porque al dividir sus últimos dos dígitos la división es inexacta.

Del número 5

tabla 5
Figura # 6

Mucho más fácil es reconocer si un número es divisible entre 5, si ese número termina en 0 o en 5 es divisible entre 5. Observa la figura # 6.
Te fijaste que todos terminan en 0 y 5.

Ejemplo: Diga si los números 1.055 , 7.010.000 y 53 es divisible entre 5.

El número 1.055 es divisible entre 5 porque termina en 5.

El número 7.010.000 también es divisible entre 5 porque termina en 0.

Pero el número 53 no es divisible entre 5 por no termina ni en 0 ni en 5.

Del número 6

tabla 6
Figura # 7

Para saber si un número es divisible entre 6 se debe cumplir con dos condiciones:

Primero. Debe ser divisibles entre 2.
Segundo. Debe ser divisible entre 3.
Cuando la cifra es divisible entre 2 y 3, entonces es divisible entre 6.
Ejemplo: Diga si los siguientes números son divisibles entre 6.

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  • 809
  • 506

Número 744. Es divisible entre 2 y 3. Por lo tanto es divisible entre 6.

Número 809. No es divisible entre 2 y 3. Entonces no es divisible entre 6.

Número 506. Es divisible entre 2 pero no es divisible entre 3. Si no es divible por 3 entonces el número 506 no es divisible entre 6.

Del número 7

tabla 7
Figura # 8

Para que un número sea divisible entre 7 obviamente debe ser múltiplo de 7, mira la figura # 8 allí te muestro algunos multiplos de 7.
Pero surge una pregunta ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 7?.
Muy fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

  1. Separar la cifra del último dígito.
  2. Siempre debes multiplicar el último dígito por dos.
  3. Restar los primeros dígitos menos el producto del resultado anterior.
  4. Si el resultado es divisible entre “7” o da como resultado cero (0) o siete (7) la cifra es divisible entre 7.

Ejemplo # 1: Determine si 420 es divisible entre 7

La cifra es: 420.

  • Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 42  y  0.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 0 x 2 = 0.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 42 – 0 = 42.
  • El resultado (42) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 420 es divisible entre 7.

Ejemplo # 2: Determine si 7.574 es divisible entre 7

La cifra es: 7574.

  • Separar la cifra del último dígito. Separados queda así: 757  y  4.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 4 x 2 = 8.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 757 – 8 = 749. “El número es muy grande, continuar el mismo procedimiento”.
  • Separar la cifra (749) del último dígito. Separados queda así: 74  y  9.
  • Multiplicar el último dígito por dos. 9 x 2 = 18.
  • Restar los primeros dígitos menos el producto anterior. 74 – 18 = 56.
  • El resultado (56) es divisible entre 7. Por lo tanto el número 7574 es divisible entre 7.

Del número 8

tabla 8
Figura # 9

Para conocer los números divisibles entre 8 sólo debes dividir la cantidad entre 8, si la división es exacta es divisible entre 8. A continuación te muestro en la figura # 9 algunos múltiplos de 8.
Pero, ¿Cómo puedes saber si una cifra fuera de la tabla es divisible entre 8?.
Es fácil, sólo tienes cumplir los siguientes pasos:

  1. Si es un número de dos o tres dígitos se dividen entre 8, si la división es exacta ese número es divisible por 8.
  2. Si es un número de 4 dígitos en adelante, se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8, la división debe ser exacta.
  3. Si es un número que termina con tres ceros (000) es un número divisible entre 8

Ejemplo: Verifica si los números a continuación son divisibles entre 8

  • 96
  • 880
  • 2.032
  • 562.000

Número 96.

Como es un número de dos dígitos se divide entre 8.

Como la división es exacta, entonces el número 96 es divisible entre 8.

Número 880.

Como es un número de tres dígitos se divide entre 8.

880 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 2032.

Este número posee cuatro dígitos se selecciona los últimos tres dígitos y se divide entre 8.

2.032 es divisible entre 8 porque la división es exacta.

Número 562000.

Este número termina con tres ceros.

562000 es divisible entre 8 porque sus últimos tres dígitos termina con tres ceros (000).

Criterios de divisibilidad del número 11

tabla 11Para conocer si un número es divisible por 11 el número debe ser múltiplo de 11. A la derecha te muestro algunos múltiplos de 11.

Para saber que un número es divisible entre 11 debes cumplir los siguientes requisitos:

Primero. Separar los dígitos de la cifra.

Segundo. Según el orden posicional, la unidad es el puesto # 1 es decir impar, la decena es la posición # 2 perteneciente a par, la centena ocupa el tercer lugar que es impar y así sucesivamente.

Tercero. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Cuarto. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

Quinto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Observa la siguiente cifra, allí verás los lugares pares e impares que te mencioné anteriormente, los rojos son impares y los azules los pares

Ejemplos de criterios de divisibilidad

#1. Determine si el número 385 es divisible entre 11

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

  • Posición # 1 (impar) = 5
  • Posición # 2 (par) = 8
  • Posición # 3 (impar) =3

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 5 + 3 = 8

Pares: 8

  • Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

8 – 8 = 0

  • Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (0), la cifra 385 es divisible entre 11.

# 2: Determine si el número 11.638 es divisible entre 11.

Primero. Separar los dígitos y según su orden posicional clasificarlos en pares e impares.

  • Posición # 1 (impar) = 1
  • Posición  # 2 (par) = 1
  • Posición  # 3 (impar) =6
  • Posición  # 4 (par) = 3
  • Posición # 5 (impar) = 8

Segundo. Sumar los dígitos de lugares pares e impares por separado.

Impares: 1 + 6 + 8 = 15

Pares: 1 + 3 = 4

  • Tercero. Restar la suma de los dígitos pares e impares.

15 − 4 = 11

  • Cuarto. Si el resultado es cero (0) o once (11) entonces la cifra es divisible entre 11.

Como el resultado es cero (11), el número 11638 es divisible entre 11.

Números primos en los criterios de divisibilidad 

Los números primos son aquellos que tienen únicamente 2 divisores que es el 1 y el mismo número.

La siguiente tabla muestra algunos números primos

23571113
171923293137

Procedimiento para determinar números primos

Para saber si un número es primo debes dividirlo por los siguientes números primos : 2,3,5,7,11,13,… hasta lograr que el cociente sea menor que el divisor.

A continuación te muestro las partes de la división:

Ejemplo: Determina si el número 101 es primo.

Criterios de divisibilidad Se evidencia que el residuo es uno(1) por lo tanto no es divisible entre dos.

Criterios de divisibilidad Se observa que al dividir en 3 el resto es 2, por lo tanto no es divisible.

Criterios de divisibilidad Al dividir entre 5 el resto es 1, esto significa que no es divisible entre 5

Criterios de divisibilidad

No es divisible entre siete, ya que el resto es 3

Observa que el cociente es menor que el divisor, por lo tanto se finaliza el procedimiento de las divisiones hasta el número 11.

Conclusión: El número 101 es primo, es decir que 101 solamente es divisible entre 1 y 101.

Descomposición en sus factores primos en los criterios de divisibilidad

En los criterios de divisibilidad la descomposición de un número se trata en reducir ese número en sus factores primos, para poder realizar esto es necesario aplicarlos y siempre empezar con los números primos de menor a mayor.

Observa el siguiente procedimiento de descomposición en sus factores primos del número 2520.

Criterios de divisibilidad 2520 es par, entonces es divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad 1260 es par, por lo tanto es divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad 630 es par divisible entre 2.

Criterios de divisibilidad

315 no es par por lo tanto el número primo 2 no califica, entonces verificamos que esa cifra sea divisible entre 3.

 

 

Se suma los dígitos de 315 y queda así 3 + 1 + 5 = 9.

9 es múltiplo de 3, esto quiere decir que la cifra 315 es divisible entre 3.

Se efectúa la división 315 entre 3.

Criterios de divisibilidad 105 es divisible entre 3.

Criterios de divisibilidad 35 no es divisible entre 3, pero si es divisible entre 5.

Criterios de divisibilidad El número 7 no es divisible entre 5, es un número primo, por lo tanto se divide entre el mismo.

La descomposición del número 2520 es:


 

 

 

 

Actividades de criterios de divisibilidad y descomposición en factores primos

  1. Según la cifra indica con una «X» sus números divisibles

Cifras234567811
946
112.838
35.434
390.236
3.084
2.290
26.225
210
119
91
121
253
203

  1. Calcule y marque con una «X» los números primos. Ten en cuenta que debes utilizar los criterios de divisibilidad. Justifique su respuesta.

CifraPrimoNo primo
7
71
89
149
24
68
102
37
409
997
1005
995
1005
937
940

Mínimo Común Múltiplo

¿Sabes cómo se aplica el Mínimo Común Múltiplo en la vida diaria? Observa la figura, es una pista de dos carritos, el carro gris le lleva una ventaja al carro rojo, y Javier les mide el tiempo que tardan en dar una vuelta completa, la vuelta completa se cumple cuando llega a la valla llamada «START», el carro gris lo logró en 28 segundos y el carro rojo en 32 segundos, ¿Tú crees que estos carritos en cualquier instante llegan a empatarse en pleno movimiento? y si es así ¿En cuántos segundos?.

Definición del Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números.

Con dos cifras se escribe m.c.m. (a,b) y con tres de esta otra forma m.c.m. (a,b,c).

Obtener el mínimo común múltiplo por medio de una tabla

Observa como se obtiene el mínimo común múltiplo por medio de una tabla de múltiplos

  1. Crear los múltiplos de ambos números
  2. Seleccionar el mínimo común

Ejemplo

Determine el m.c.m.(12,18) por medio de una tabla de múltiplos

  • Crear la tabla de múltiplos de ambos números
Múltiplos
121224364860728496108
181836547290108126144162

Los comunes  de ambos números son los que están sombreados

  • El que está sombreado en color rojo es mínimo común múltiplo m.c.m.(12,18) = 36

Obtener el mínimo común múltiplo de dos o mas números por medio de la descomposición en sus factores primos

Para determinar el mínimo común múltiplo por medio de la descomposición en sus factores primos se debe  aplicar los siguientes pasos:

  1. Descomponer el número dividiéndolos entre los números primos (2, 3,5,7,11,13,…).
  2. Igualar el número en su factores primos.
  3. Seleccionar a los números comunes con el mayor exponente.
  4. Seleccionar a los números no comunes.
  5. Calcular el m.c.m.

Ejemplo

Determinar el mínimo común  múltiplo de los números 12 y 18

Pasos
Descomponer el 12
Descomponer el 18
Factores primos del 12
Factores primos del 18
Comunes con mayor exponente
No comunesNo existe
m.cm.(12,18)=36

Explicación del mínimo común múltiplo por video YouTube

Aplicaciones del mínimo común múltiplo

Cuando se presenten problemas donde coincidan datos o resultados numéricos pueden resolverse aplicando el mínimo común múltiplo.

Ejemplo

  • La alarma del reloj de David suena cada 60 minutos y la alarma del reloj de Manuel suena cada 80 minutos. Si ambos relojes sonaron a las 4:00 pm., ¿A qué hora volverán a sonar simultáneamente?

Para determinar el tiempo donde ambas alarmas vuelvan a sonar simultáneamente es aplicar el mínimo común múltiplo

Pasos
Descomponer el 60
Descomponer el 80
Factores primos del 60
Factores primos del 80
Comunes con mayor exponente
No comunes3
m.cm.(60,80)=240

Entonces el mínimo común múltiplo de 60 y 80 es 240, es decir que en 240 minutos las alarmas de David y Manuel volverán a sonar al mismo tiempo

Ejercicios

  • Determine el mínimo común múltiplo aplicando la tabla de:
a.24, 20 y 12b.10, 4, 5 y 2
c.16, 18, y 6d.5, 10
  • Determine el mínimo común múltiplo por descomposición en sus factores primos de
a.48 y 26b.54, 27 y 18
c.6, 8, 10, 12 y 22d.4, 14, 28 y 34
  • Los abuelos maternos de Adrián lo visitan a su casa cada 7 días y tíos paternos cada 15 días. si hoy fueron sus abuelos y sus tíos, ¿En cuántos días deberán a volver a coincidir nuevamente toda su familia?.

 

  • En una librería trabajan cuatro personas: Juan, Nicoll, Leonardo y Felipe. Juan cobra cada 5 día, Nicoll cada 15 días, Leonardo cada 20 días y Felipe cada 25 días, precisamente hoy cobraron todos a la vez. ¿Cuántos días deberán transcurrir para que todos cobren el mismo día?

 

  • Dayana fue al doctor y el le mandó tres medicamentos uno que debe tomarse cada 10 horas, otro cada 8 horas y el tercero cada 24 horas.
    a. ¿Cómo se puede saber qué día y a qué hora coincidirán los tres medicamentos?
    b. Sí Dayana comenzó a tomarse sus medicamentos el martes a las 9:00am, ¿Qué día y a qué hora coincidirá nuevamente los tres medicamentos?

 

  • María y Adriana van al cine con frecuencia, maría va cada 12 días y Adriana cada 22 días, el día miércoles ambas se encontraron y se alegraron mucho. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar juntas en el cine? y ¿Qué día?

Fracciones decimales

Fracciones decimales

¿Sabes qué son las fracciones con decimales? Las fracciones son utilizadas en la vida cotidiana, en la mayoría de los casos comienzas a verlas a partir de segundo grado y de ahí en adelante las ves siempre. De allí la importancia de conocer muy bien la forma de resolverlas.

Las fracciones decimales también son llamadas números decimales, cuando expresas una fracción decimal el valor posicional utilizado es 10 y los números son realmente decimales que son mayores o iguales a cero.

Además, se utiliza un número decimal para diferenciar y separar la parte del número decimal. Como los números decimales inician a partir de una coma, en la parte izquierda, es decir antes de la coma se encuentran las unidades, decenas, centenas, etc y en la parte derecha se encuentra la parte decimal, es decir, décima, centésima, milésima, etc.  A continuación, observa la siguiente tabla:

Unidad de milCentena de milDecena de milUnidad de mil Coma DécimaCentésimaMilésima
      5     7     8    9    ,    3     4 
      3     2    4    ,    2     2    6

Para diferenciar los valores según la unidad seguida de ceros, observa la siguiente tabla que explica la forma de resolverlo.

Notación decimalNotación fraccionariaSe lee…
          0,1 Una décima
        0,01                          Una centésima
       0,001                             Una milésima

 Problemas de números decimales en la vida cotidiana

1.Una costurera elabora pantalones diarios, cada uno a un costo de 30, 42 dólares y camisas a 438, 12 dólares. Luego, decide vender el conjunto ¿Qué precio tiene el conjunto?

Para resolver este problema, sigue los siguientes pasos, a continuación:

  • Escribe en la tabla los costos de pantalón y camisa
  • Ten en cuenta organizar los precios según si valor posicional.
  • Por último, procede a sumar para conocer el costo total del conjunto.
Ropa    Precio
Pantalón     30,42
Camisa   438,12
Costo conjunto    468,54
  1. La señora María tiene 300, 456 dólares en su monedero, y recibe una cantidad de 200, 154 dólares de bonificaciones en su trabajo ¿Cuánto dinero tiene en total?
 CentenaDecenaUnidadDécimas Centésimas   Milésimas
Monedero     3    0    0      4      5        6
Bonificaciones     2    0    0      1      5        4
Total    5   0    0      6      1        0
  1. David tenía 2.540, 340 dólares ahorrados para comprarse un carro usado, pero finalmente el carro le costó 2000, 234 dólares ¿Cuánto dinero le quedó?
 Unidad de MilCentenaDecenaUnidadDécimaCentésimaMilésima
Ahorro        2      5     4    0    3     4      0
Costo del carro        2      0     0     0    2     3     4
Quedó       0     5    4     0    1    0     6

Como puedes ver en la tabla, la operación realizada fue una resta de números decimales, para resolver el problema no hizo falta organizar de mayor a menor, pero si fuese el caso, tendrías que colocar la cantidad mayor primero, luego la menor, después procede a realizar la resta.

Convertir números decimales en fracciones decimales

Para convertir un número decimal en fracción decimal deberás considerar la parte entera y la parte decimal, ten en cuenta que se toma la unidad seguida de cero de base 10.

Ejemplos:

a) 0,003=

b) 0,005=

c) 2,341=

d) 12,45=

e) 345,32 =

Convertir una fracción decimal en un número decimal

=5,42

=1,32

=0,021

=4,5

= 5,41


ACTIVIDADES

1. Convierte en fracción decimal los siguientes números decimales

a) 3,245

b) 1,24

c) 2,903

d) 6,034

e) 4,56

2. Convierte en número decimal las siguientes fracciones

a)

b)

c)

d)

e)

➡  No olvides resolver cada uno de los ejercicios planteados serán de gran ayuda para fortalecer tus conocimientos de fracciones decimales. Comparte con tus amigos y compañeros cada uno de los contenidos y estudia tus clases por adelantado.

Operaciones con números decimales

Para trabajar operaciones con números decimales, lo primero que deberás saber es que son muy útiles en la vida cotidiana, en todo lo que hacemos están presentes. Por ejemplo, cuando vas a una tienda y algunos artículos tienen costos en cifras decimales, en el supermercado también puedes conseguir víveres con precios con decimales. Para sacar las cuentas de manera ordenada, tienes que hacerlo de forma ordenada, ya sea que tengas que sumar, restar, multiplicar o dividir.

Antes de comenzar a trabajar operaciones con números decimales, es muy importante que domines el cartel de valores y un buen manejo del valor posicional. Para ello, observa la siguiente tabla, a continuación:

Ejemplo:

Ubicar los siguientes valores en la tabla:

a) 234,567

b) 1.234, 345

c) 2.345, 235

Valor
posicional
Unidad de mil12
Centena223
Decena334
Unidad445
Centésimas532
Milésimas643

Diezmilésimas
755

Operaciones con números decimales

Suma con decimales

Para resolver operaciones de sumas con decimales, es importante que conozcas muy bien el valor posicional de los números. Aunque a muchos estudiantes este tema es complejo, debes saber que es fácil, sólo es cuestión de práctica. Ten en cuenta que para realizar las operaciones de suma, debes seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenar de mayor a menor
  2. Organiza los números de derecha a izquierda.

  3. Asegúrate que la coma va debajo de la coma.

  4. Resuelve la suma de derecha a izquierda

5. Ten en cuenta que si la suma no tienen las mismas cifras decimales, puede agregar ceros como fuese necesario, esto con el fin que tengan la misma cantidad de cifras decimales.

Ejemplo:

345, 89 + 123, 45=

Suma con decimales

 

Resta con números decimales

Para resolver resta con números decimales, deberás conocer muy bien el valor posicional  de los números, además deberás seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenar de mayor a menor
  2. Organiza los números de derecha a izquierda.

  3. Asegúrate que la coma va debajo de la coma.

4. Resuelve la resta de derecha a izquierda. Ten en cuenta que si el minuendo es menor que el sustraendo

5. Ten en cuenta que si la suma no tienen las mismas cifras decimales, puede agregar ceros como fuese necesario, esto con el fin que tengan la misma cantidad de cifras decimales.

Ejemplo: 

 

Multiplicación de números decimales

Resolver multiplicación con números decimales es muy sencillo, sólo debes tener muy claro la tabla de multiplicar y saber que se corre tantas coma tenga el multiplicando y el multiplicador. Esta coma se agrega al final, una vez obtienes el producto. 

Para resolver multiplicación de números decimales deberás seguir los siguientes pasos:

  1. Lo primero que debes hacer es ordenar de mayor a menor
  2. Seguidamente, comienza multiplicando de derecha a izquierda

  3. Procede a multiplicar el primer producto que obtengas no le agregues coma

  4. Continúa multiplicando la segunda cifra que tienes de derecha a izquierda por ekl multiplicando, recuerda no añadirle coma y bajar un escalón dejando un espacio

  5. Luego, multiplicas la siguiente cifra por el multiplicando.

  6. Realiza el proceso según la cantidad de cifras tengas en el multiplicador.

  7. Finalmente, procede a sumar.

  8. Por último, corre la coma, según la cantidad que sumes en espacio entre el multiplicando y el multiplicador.

Ejemplo:

Multiplicación de número decimales

División de número decimales

La división es una operación aritmética definida en el conjunto de los números enteros. Cuando hablamos de dividir números decimales, encontramos dos situaciones, las cuales verás a continuación:

         1. División de un decimal entre un número entero

Esta división se realiza considerando dividendo y divisor como números enteros. Por ejemplo, cuando bajas el primer número decimal se coloca la coma en el cociente.

Ejemplo:

        2. Dividir un entero entre un número decimal

Observa el siguiente ejemplo: 342 ÷ 2,5

Porque no se puede dividir entre un número decimal, deberás multiplicar el cociente 2,5 x 10, es decir por la unidad seguida de ceros tantas veces tenga la parte decimal, quedando de la siguiente manera:

2,5 x10=25; entonces se divide:

     

 

Determinación de conjuntos

Determinación de conjuntos

¿Sabes cómo se aplican los conjuntos en la vida cotidiana? Antes de comenzar la explicación de este interesante tema, es importante que conozcas su aplicación en la actualidad. Un conjunto es una colección de elementos que poseen características semejantes que se consideran en sí misma en un solo objeto. Puedes observar a tu alrededor colores, personas, letras, figuras, entre otros.

¿Qué tienes que saber de los conjuntos?

A los conjuntos se le asignan una letra mayúscula y se representan con llaves o también por medio del trazado de un circulo, elipse o rectángulo, por ejemplo:

Un conjunto está determinado por comprensión, cuando se nombra la característica común de esos elementos, y por extensión, cuando se nombra cada uno de sus elementos.

Conjunto por extensión

Ten en cuenta que en el conjunto por extensión se mencionan todos los elementos.

P={ hormiga, mariposa, saltamontes, mariquita, abeja}

Conjunto por compresión

En este conjunto se nombran la característica común de todos los elementos.

P={Insectos}

Pertenencia y contenencia en conjuntos

Se dice que un conjunto pertenece a un conjunto si posee una característica común de los elementos del conjunto. Esta relación se representa con el símbolo  ϵ. Por el contrario, si el elemento no tiene una característica común, entonces no pertenece al conjunto, se representa con el símbolo ∉

Ejemplo:

C={Deportes en el que se usa el casco}

A={Deportes que se practican en carros}

  • El béisbol es un deporte en el que se usa casco.

Béisbol ∈ al conjunto C

  • El béisbol no se practica en carros.

Béisbol no pertenece al conjunto A

Béisbol ∉ A

Un conjunto está contenido en otro conjunto, cuando los elementos del primer conjunto pertenecen al segundo conjunto. Esta relación se representa con el símbolo ⊂. Si el conjunto no está contenido en otro, se utiliza ⊄

Ejemplo:

C={Deportes en el que se usa el casco}

A={Deportes que se practican en carros}

Debido a que todos los deportes se practican en carros requiere el uso de casco, entonces todos los elementos de A pertenecen a C. Por tanto, se dice que el conjunto A está contenido en el conjunto C, el cual se simboliza A ⊂ C.

Como hay deportes que no necesitan el uso de cascos, pero no requiere el uso de carros, entonces no todos los elementos de C pertenecen a A. Esto indica que el conjunto C no está contenido en el conjunto A. Se simboliza de la siguiente forma: C ⊄ A

Unión de conjuntos

La unión de conjuntos es una operación que se trata de unificar todos los elementos de ambos conjuntos, y se expresa con el símbolo ∪

Ejemplo # 1: Vea la siguiente imagen y efectúe P ∪ L

Entonces la unión de ambos conjuntos es:

Ejemplo # 2: Dado los conjuntos M = { oro, bronce, aluminio, plomo, cobre} y N = { oxígeno, carbono}. Determine: M ∪ N

M ∪ N={oro, bronce, aluminio, plomo, cobre, oxígeno, carbono}

Ejemplo # 3: Determine A ∪ B

A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

B = {2,4,6,8,10}

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,10}

Intersección de conjuntos

Es otra operación de los conjuntos, cuando se interceptan la solución son los elementos comunes de esos conjuntos. El símbolo de intersección es ∩

Ejemplo # 1: Determine X ∩ Y

X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Y = {2,4,6,8,10}

La intersección son los elementos comunes de ambos conjuntos

X ∪ Y = {2,4,6,8}

Ejemplo # 2: Determine A ∩ D

A = {5,10,15,20,25,30}

D = {7,14,21,28,35}

Para dar el resultado de la intersección debe existir elementos comunes, en este caso no existen por lo tanto la solución es un conjunto vacío

A ∪ D = {  }

Ejemplo # 3: Observa los conjuntos P y Q y determine la intersección  P ∩ Q. Expresa el resultado entre llaves y en diagrama

P = {0,2,4,6,8}

Q = {3,6,9,12,15}

LlavesDiagrama
P ∩ Q = {6}

Diferencia de conjuntos

Una diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, es otro conjunto C donde los elementos que pertenecen a A no a B y se representa con el signo −

Ejemplo: Determine la diferencia A − B. Realice el resultado entre llaves y en diagrama

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}  ∧  B={2,4,6,8,10}

Entonces seleccionamos los elementos (números) del conjunto A que no se encuentren en el conjunto B, observa cada círculo sobre los elementos

En llaves
A − B={1,3,5,7,9}
En diagrama

Ejercicios de conjuntos

1. Determina por extensión cada conjunto:

a) N={Los números naturales menores que 7}

N={0,1,2, 3, 4, 5, 6}

b) P={Las vocales de la palabra mariposa}

P={a, i, o}

c) Q={Los números pares menores que 15}

Q={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

2. Dados los conjuntos A= {3, 5, 7, 9, 11} y  B= {2, 4, 6, 8}, escribe ∈ y ∉:

3 ∈ A; 5 ∉ A; 4 ∈ A; 6 ∉ A;  9 ∈ A; 11 ∉ B

3. Sean F={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y G= {3,6, 9}

a. ¿Puedes asegurar que G está contenido en F? ¿Por qué?

Sí, porque todos los elementos de G pertenecen a F.

b. ¿F está contenido en G? ¿Por qué?

No, porque algunos elementos de F no pertenecen a G.

4. Dados los conjuntos:

M={los divisores de 12}

N={los 5 primeros múltiplos de 12}

Determina los conjuntos por extensión:

M={1, 2, 3, 4, 6, 12}

N={12, 24, 36, 48, 60}

5. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4} ; B = {2,4,6}  y  C = {3,4,5,6}. Determina
a.  A ∩ B
b.  A ∩ C
c.  B ∩ C

6. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4,5} ; B = {2,4,6}  y  C = {3,4,5,6}. Determina
a.  A ∪ B
b.  A ∪ C
c.  B ∪ C

7. Dados los conjuntos A = {1,2,3,4,5} ; B = {2,4,8}  y  C = {1,3,7,9}. Determina
a.  A − B
b.  B − A
c.  B − C
d.  C − A

Ahora que conoces más acerca de los conjuntos puedes ver que es un tema muy sencillo, y fácil de trabajar. Es momento de poner manos a la obra.

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